1.問題的引出先看一個奇異的數字圖1,圖2,數列圖3,當圖4,當圖5,當圖6,圖7,圖8,圖8,圖9,圖10,的時候的和">

曲線數列由根號2的根號2的根號2...次方次方引發的討論

">

1.問題的引出

先看一個奇異的數字,這個數看上去很有趣,但是讀起來很拗口,幾乎讀不出來。大概應當叫做的...次方次方。注意,這里盤算的次序是從右往左的,最后一步是算第一個的后面那么多次方,而并非是像這樣的數。

(有些評論表現對這里不太明白,在此多說明一些。的運算方法是由其寫法決議的,這里的每一個都在角標地位上,比本來的要小,所以其作用于前面鄰近的那個,而不是前面全部數字。如果是后者,則除了第一個以外的所有的都大小一樣,而且要加括號。加完括號就等于直接趨于無限了,就沒必要討論了。)

對于這樣一個無限遞歸定義的數字,自然要問,此數是否收斂?收斂的話等于多少呢?

2.簡略推算

假設其收斂,斟酌到的無限遞歸的情勢,其后面無限長的“尾巴”應當和它自身是相等的。于是我們可以得到一個方程:

這個方程的解便是的值。由于這是一個超出方程,我們暫且不去剖析其解析求解的方式,只通過下面的兩條曲線來形象的懂得一下。

圖1,兩個函數的圖像,交點為(2,2)和(4,4)兩個點

由上圖可以得到都可以滿足原方程。

那么問題來了,是等于2還是4呢?難道這個數有兩個值?(有些讀者在讀完后依然不太明白應當等于2還是等于4,我在第3部分的末尾加了一些說明)

3.數學歸納法的證明

設數列,。

,又因為,所以如果極限存在則。

那么是否可以闡明等于2而不能等于4呢?事實上,如果從任意地位截取這個數字的一個尾巴,令其等于4,那么這個數最后的盤算成果就等于4。

而這與數學歸納法的證明似乎是抵觸的,那么問題出在哪里呢?這個問題我們留在后面討論。

下面我們用程序模仿迭代的成果來形象的感知一下:

圖2,數列所發生的數列,曲線最左邊第一個點即,為設定值。

由上圖的程序迭代成果可以看出,數列最后的值和初始值的設定很有關系,所有初始值小于4的迭代成果均收斂于2,而初始值等于4的穩固在4,初始值大于4的會敏捷發散。

那么對于,其對應數列的初始值應當為多少呢?如果設初始值為的話,則由圖中可以看出數列收斂于2。但是為什么初始值就必定是呢?或許因為我們從這個書寫情勢中看不到還有其他數字的可能,所以想當然的假定了。

然而細心剖析的盤算進程,我們發明,這個初始值起源于無窮遠處,而我們只是從其中的排列情勢上來推知無窮遠處的值。這相當于用來定義的值,顯然是有問題的。而這個無窮遠處的值是多少呢?是否應當具有一個斷定的值呢?

筆者以為,這只是一個數學符號的定義問題,而非數字本身問題。也就是說,無論我們定義初始值是一個斷定的值,還是可以隨意取很多值,都不影響我們對這個數性質的討論。我們只須要知道,這個初始值的設定的確影響了最終數字的值。

(由于評論里對于是等于2還是等于4的問題依然存在疑問,這里多彌補一些內容,其實要害點在于這個數字是怎么定義的。由于是一個無限情勢,所以其本身就未必有斷定的值。這和我們通常對一個只包括常數的數字表達式的認識不同。比如我們可以定義其中有n個。

或者其中有n個,但S是任意實數。

也可以定義。

或者定義為方程的解。

本文重要采取了第一和第二種定義)

4.推廣到

為了不失一般性,我們把上面中的調換為常數C,,于是用雷同的方式,我們可以得到是超出方程的情勢化解?,F在我們來研討一下這個數字的收斂條件。

因為當時,兩條曲線只有一個交點,見下圖:

圖3,當時,兩個函數的圖像

于是必收斂,收斂值為交點對應的X值,其收斂特征我們放在后面討論。

現在我們重要討論的情形。

臨界收斂時兩條曲線相切。見下圖

圖4,當相切時,兩個函數的圖像

為求得切點:

,則,。

于是原方程可以表現為。

因為,所以為凹函數。設其最低點,則,解得。

圖5,當,三個函數的圖像

設當兩條曲線相切時,所以只有一個解,又因為為凹函數,所以其最低點即為方程的解,于是我們有

,代入

,換底后得,解得。

此時的切點坐標為.

綜上我們得出結論,當時,的臨界收斂條件,收斂值為e,或者說是使收斂的最大的C值,當且僅當,且的最大值為e.(此處不斟酌特別初始值的情形)

結論竟然如此簡潔,數學真是太巧妙了。

5.的收斂值與C的關系

對方程做一個變換得到。這是C關于X的一個函數表達式,其圖像如下

圖6,的圖像,坐標的縱軸為C,橫軸為X。

這條曲線穿過,對應該時,退化為,與點的情形。

這條曲線的最高點坐標,對應于前面剖析的相切的情形。

曲線當X趨于無限時以 為漸近線。所以可以得出,當時,一個特定的C值所對應的程度的線與此曲線有兩個交點,當時,程度線與此曲線只有一個交點,與前面的剖析相符。

6.的收斂特征與的兩個解的關系

回到最初我們討論過的的收斂值的問題,當我們選不同的初始值進行迭代的時候,的收斂情形不同。

設初始值為S,不妨把具有給定初始值的記為。

得到當時,,當時,,而當時,發散。

而4恰好是方程的比擬大的一個解,這和S的分界點是一個偶合呢還是有些某種接洽?

是否我們可以得到一個統一的結論,當時,收斂于,當時,收斂于,當時,發散?

在進行嚴厲證明之前,我們從圖6察看一下,如果在坐標空間任意選擇一點,令其橫坐標為迭代初始值S,則可以看出,由圖中曲線的部分向左直到C軸所籠罩的區域,為S的收斂區域,收斂值為曲線的部分上對應C的點的X的值,即,而曲線的部分上的點在收斂進程中不動。而對于曲線的部分,由于不存在,所以我們可以以為在無限遠處,從而的全部X正半軸部分都是收斂的。

如下圖所示

圖7,的圖像和的收斂域,坐標的縱軸為C,橫軸為X或S。

7.嚴厲證明

7.1 的情形,方程有兩個解,為凹函數(參見第4小節)。

7.1.1 對于任意的點,有,即。

由于為單調增函數,所以。

綜上,。

設數列,且令,重復應用上面的不等式,有。由于數列收斂,且有.

又因為為方程的情勢化解,所以它的值是或者。聯合上面的結論,可以推出

7.1.2 對于的情形,證明原理同上,不等式的方向相反。

7.1.3 對于或者的情形,依據定義,不難證明其收斂值分辨為。

7.1.4 對于的情形,有,即。

由于為單調增函數,所以。

綜上,。

假設數列收斂于K,則由上式,與K是或者相抵觸,從而數列發散。

7.1.5 7.1.1中收斂的迭代進程可以懂得為一個作圖進程

:在

盤算:從豎直向的方向移動,找到

:從點程度向

反復上述進程直到n趨于無限,當前點無窮接近。此路徑為的收斂路徑,如下圖

圖8,且起始點時的收斂路徑

我們可以看到,這個路徑是一個階梯狀的曲線。

其它情形的收斂或發散路徑同理可以畫出,可以看到在左邊的時候,路徑都是向著的。而右邊的折線向無限發散而去。

7.2 的情形,方程有一個解

7.2.1 起始點的情形

由于互為反函數,所以兩個曲線的交點在。

對于,令,,有。

由于為減函數,有。

綜上得。

又因為S_1,S_2
的定義,有。

對于,使得,從而使得。

又因為同樣,從而使得。也就是說是迭代數列的奇數項子序列。由于單調有界,則其必收斂。

的單調性可知,其與(X1,X1)
,所以的收斂值為。

同理可以證明的偶數項子序列的收斂值也為,從而收斂于。

。

7.2.2 起始點的情形

證明思想與7.2.1雷同,只是奇偶子序列的地位交流了。

7.2.3 的情形,顯然得證。

7.2.4 用7.1.5的方式做圖得收斂路徑

圖8,且起始點時的收斂路徑

我們可以看到,這個收斂進程是一個繚繞交點螺旋狀縮小的曲線。

8.從圖象剖析Y=C^X
的關系

,其中有n個C,則通過n=1,2,3...的圖像可以形象的剖析隨著n變更,這個函數的變更趨勢。

圖9,的時候的的指數函數,我們有這樣的常識,在X軸的負半軸部分,是比擬平坦的,而在正半軸部分其變得極為峻峭,而n的值,在這里把持這個特征的明顯水平。

當n趨于無限的時候,這個曲線變成了一個直角轉彎的線,也就不難說明我們上面剖析的收斂區域了。

對于的情形,圖像變更會龐雜一點

圖10,的時候的,這可以說明我們前面剖析的收斂進程。當我們取一特定的時,迭代進程會指數列的值在的兩邊來回擺動。

9.數學上的通用記法

最近讀到了一些相干的材料,有一種記法為

稱為Tetration,即第四種運算的意思。也叫超級冪。

對于有n個a的記為

見Tetration - Wikipedia

怎样看福建快3走势图